СТО

т. е. новое x^' перемещает старые x и y, а y^' тоже их перемешивает. Подобным же образом в преобразовании Лоренца новое x^' есть смесь старых x и t, а новое t^' - смесь t и x. Значит, преобразование Лоренца похоже на вращение, но "вращение" в пространстве и времени. Это весьма странное понятие. Проверить аналогию с вращением можно, вычислив величину

В этом уравнении три первых члена в каждой строне представляют собой в трехмерной геометрии квадрат расстояния между точкой и началом координат (сферу). Он не меняется (остается инвариантным), несмотря на вращение осей координат. Аналогично, уравнение (15.9) свидетельствует о том, что существует определенная комбиниция координат и времени, которая остается инвариантной при преобразовании Лоренца. Значит, имеется полная аналогия с вращением; аналогия эта такого рода, что векторы, т. е. величины, составленные из "компонент", преобразуемых так же, как и координаты, оказываются полезными и в теории относительности.

Итак, мы расширим понятие вектора. Пока он у нас мог иметь только пространственные компоненты. Теперь включим в это понятие и временную компоненту, т. е. мы ожидаем, что существуют векторы с четырьмя компонентами: три из них похожи на компоненты обычного вектора, а к ним привязана четвертая - аналог времени.

В следующих главах мы проанализируем это понятие. Мы увидим, что если идеи этого параграфа приложить к импульсу, то преобразование даст три пространственные составляющие, подобные обычным компонентам импульса, и четвертую компоненту - временную часть (которая есть не что иное, как энергия).

Релятивистская динамика

Теперь мы готовы к тому, чтобы с более общей точки зрения исследовать, как преобразования Лоренца изменяют законы механики. [До сих пор мы только обЪясняли, как изменяются длины и времена, но не объяснили, как получить измененную формулу для m, уравнение (15.1). Это будет сделано в следующей главе.] Изучение следствий формулы Эйнштейна для массы m в механике Ньютона мы начнем с закона силы. Сила есть быстрота изменения импульса, т. е.

Это законы Ньютона в записи Эйнштейна. При этом видоизменении, если действие и противодействие по-прежнему равны (может, не в каждый момент, но по крайней мере после усреднения времени), то, как и раньше, импульс должен сохранятся, но сохраняющейся величиной является не старое mv при постоянном m, а выражение (15.10) с переменной массой. С таким названием в формуле для импульса сохранение импульса по-прежнему будет существовать.

Посмотрим теперь, как импульс зависит от скорости. В ньютоновой механике он ей прпорционален. В релятивистской механике в большом интервале скоростей (много меньших c) они также примерно пропорциональны [см. (15.10)], потому что корень мало отличается от единицы. Но когда v почти равно c, то корень почти равен нулю и импульс поэтому беспредельно растет.

Что бывает, когда на тело долгое время воздействует постоянная сила? В механике Ньютона скорость тела беспрерывно будет возрастать и может превысить даже скорость света. В релятивистской же механике это невозможно. В теории относительности беспрерывно растет не скорость тела, а его импульс, и рост этот сказывается не на скорости, а на массе тела. Со временем ускорение, т. е. изменения в скорости, практически исчезает, но импульс продолжает расти. Поскольку сила приводит к очень малым изменениям в скорости тела, мы, естественно, считаем, что у тела громадная инерция. Но как раз это самое и утверждает релятивистская формула (15.10) для массы тела; она говорит, что инерция крайне велика, когда v почти равно c. Разберем пример. Чтобы отклонить быстрые электроны в синхротроне Калифорнийского Технологического института, необходимо магнитное поле, в 2000 раз более сильно, чем следует из законов Ньютона. Иными словами, масса электронов в синхротроне в 2000 раз больше их нормальной массы, достигая массы протона! Если m в 2000 раз больше m₀ , то 1-m²/c² равно 1/4 000 000, или v отличается от c на 1/8 000 000, т. е. скорость электронов вплотную подходит к скорости света. Если электроны и свет одновременно отправятся в соседнюю лабораторию (находящуюся, скажем, в 200 м), то кто явится первым? Ясное дело свет: он всегда движется быстрее^*. Но насколько быстрее? Трудно сказать, насколько раньше во времени, но зато можно сказать, на какое расстояние отстанут электроны: на ¹/₃₀мм, т. е. на ¹/₃ толщины этого листка бумаги! Масса электронов в этих состязаниях чудовищна, а скорость не выше скорости света.

На чем еще скажется релятивистский рост масы? Рассмотрим движение молекул газа в балоне. Если газ нагреть, скорость молекул возрастает, а вместе с нею и их масса. Газ станет тяжелее. Насколько?

Разлагая в ряд по формуле бинома Ньютона, можно найти приближенно рост массы при малых скоростях. Получается

где второй член и выражает рост массы за счет повышения скорости. Когда растет температура, v² растет в равной мере, значит, увеличение массы пропорционально повышению температуры. Но ¹/₂m₀v² - это кинетическая энергия в староводном, ньютоновском смысле этого слова. Значит, можно сказать, что прирост массы газа равен приросту кинетической энергии, деленной на c², т. е.

^*Правда, видимый свет проиграет гонку из-за преломления в воздухе. А - излучение ее, несомненно, выиграет.

Связь массы и энергии

Это наблюдение навело Эйнштейна на мысль, что массу тела можно выразить проще, чем по формуле (15.1), если сказать, что масса равна полному содержанию энергии в теле, деленному на c². Если (15.11) помножить на c², получается

К каким следствиям мы придем, если вслед за Эйнщтейном предположим, что "энергия тела всегда равна" mc²? Тогда мы сможем вывести формулу (15.1) зависимости массы от скорости, ту самую, которую до сих пор мы принимали на веру. Пусть тело сперва покоится, обладая энергией m₀c²) Затем мы прикладываем к телу силу которая сдвигает его с места и поставляет ему кинетическую энергию; раз энергия примется возрастать, то начинает расти и масса (это все заложено в первоначальном предположении). Пока сила действует, энергия и масса продолжают расти. Мы уже видели (см. гл. 13), что быстрота роста энергии со временем равна произведению силы на скорость

В обычных условиях изменения энергии приводят к очень малым изменениям в массе: почти никогда не удается из данного количества вещества извлечь много энергии; но в атомной бомбе с энергией взрыва, эквивалентной 20 000 тонн тринитротолуола, весь пепел, осевший после взрыва, на 1 г легче первоначального количества расщепляющего материала. Это потому, что выделилась энергия, которая имела массу 1 г, в согласии с формулой . Вывод об эквивалентности массы и энергии прекрасно подтвердился в опытах по аннигиляции материи - превращению вещества в энергию. Электрон с позитроном могут взаимодействовать в покое, имея каждый массу покоя m₀. При сближении они исчезают, а вместо них излучаются два - луча, каждый опять с энергией m₀c². Этот опыт прямо сообщает нам о величине энергии, связанной с существованием массы покоя у частицы.