• Глава 7
  • Движение планет
  • Законы Кеплера
  • Развитие динамики
  • Ньютонов закон тяготения
• Глава 15
  СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
• Глава 38
  Соотношение между волновой и корпускулярной точками зрения

В этой главе речь пойдет об одном из самых далеко идущих обобщений, сделанных когда-либо человеческим разумом. Мы заслуженно восхищаемся умом человека, но неплохо было бы постоять несколько минут в благоговеянии и перед природой, полностью беспрекословно подчиняющейся такому изящному и такому простому закону - закону тяготения. В чем же заключается этот закон? Каждый объект Вселенной притягивается к другому объекту с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними. Математическая запись этого утверждения такова:

Если к этому добавить, что любое тело реагирует на приложенную к нему силу ускорением в направлении этой силы, по величине обратно пропорциональным массе тела, то спсобному математику этих севдений достаточно для вывода всех дальнейших следствий.

Но поскольку, как мы предполагаем, вы еще не стоь талантливы, вооружим вас не только этими двумя аксиомами. Давайте вместе разберем следствия из них. Мы изложим в кратце историю открытия закона тяготения, остановимся на некоторых выводах из него и на его влиянии на историю, на загадках этого закона и на уточнении его Эйнштейном; мы хотим еще обсудить связь закона тяготения с другими законами физики. Всего этого в одну главу не уложишь, но в надлежащих местах других глав мы снова будем возвращаться к этому.

История начинается с древних; наши предки наблюдали движение планет среди звезд и в конце концов поняли, что планеты движутся вокруг Солнца - факт, заново открытый позже Коперником. Немного больше труда потребовалось, чтобы открыть, как именно они вращаются. В начале XV столетия шли большие дебаты о том, действительно ли планеты обращаются вокруг Солнца или нет. У Тихо Браге на этот счет было свое представление, далекое от того, что думали древние: мысль его состояла в том, что все споры о движении планет разрешаются, если достаточно точно измерить положение планет на небе. Если измерения точно установят, как движутся планеты, то не исключено, что из двух точек зрения удастся отобрать одну. Это была неслыханная идея - чтобы открыть что-то, лучше проделать тщательные опыты, чем приводить глубокие философские доказательства. Следуя ей, Тихо Браге многие годы изучал движение плнет в своей лаборатории на острове Фюн, близ Копенгагена. Он составил объемистые таблицы, впоследствии, после смерти Тихо, изученные математиком Кеплером. Из его данных Кеплер и извлек замечательные, очень красивые и простые законы,управляющие движением планет.

И прежде всего Кеплер понял, что все планеты движутся вокруг Солнца по кривой, называемой элипсом, причем Солнце находится в фокусе элипса. Элипс - это не совсем овал, это особым образом точно определяемая кривая. Получить такую кривую можно, воткнув в фокусы по булавке, к которым привязана нить, натянутая карандашом. Выражаясь математически, это - геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух заданных точек (фокусов) постоянна. Или, если угодно, это - окружность, видимая под углом к своей плоскости (фиг. 7.1).

Другое наблюдение Кеплера состояло в том, что планеты движутся не с постоянной скоростью: поблизости от Солнца - быстрее, удаляясь - медленнее. Более точно: пусть планета наблюдается два последних момента времени, скажем на протяжении недели, и к каждому положению планеты проведен радиус-вектор^*. Дуга орбиты, пройденная планетй за неделю, и два радиус-вектора ограничивают некоторую площадь, заштрихованную на фиг. 7.2. Если такие же наблюдения в течении недели проделать в другое время, когда планета движется по дальнему участку орбиты (т. е. медленнее), то построенная таким же способом фигура окажется по площади равной прежней. Итак, в соответствии со вторым законом орбитальная скорость любой планеты такова,что радиус "заметает" равные площади в равные интервалы времени.

Третий закон был открыт Кеплером гораздо позже; он другого рода, нежели первые два: он уже касается не одной планеты, а связывает между собой разные планеты. Закон утверждает, что если сравнить между собой период обращения и размеры орбиты двух планет, то периоды пропорциональны полуторной степени размеров орбит. Здесь период - время нужное планете для того, чтобы обойти всю орбиту; размер же измеряется длиной наибольшего диаметра элептической орбиты, ее большой оси. Считая орбиты кругами (чем они почти и являются), можно сказать проще: время одного оборота по кругу пропорционально его диаметру (или радиусу) в степени  ³/₂. Итак, три закона Кеплера таковы:

• Все планеты движутся вокруг Солнца по элипсу, в одном из фокусов которого находится солнце.
• Радиус-вектор от Солнца до планеты "заметает" равные площади в равные интервалы времени
• Квадраты времени обращения двух орбит пропорциональныкубам больших полуосей их орбит: T ² ~ a ³.

В то время, когда Кеплер открывал эти законы, Галилей изучал законы движения. Он пытался выяснить, что заставляет планеты двигаться. (В те дни одна из предлагающихся теорий утверждала: планеты движутся потому, что за ними летят невидимые ангелы, которые взмахами своих крыльев гонят планеты вперед. Ныне эта теория, как вы вскоре увидите, несколько видоизменена! По-видимому, чтобы заставить планеты вращаться, невидимые ангела обязаны витать во всевозможных направлениях и обходиться без крыльев. В остальном эти теории схожи!) И Галилей открыл одно замечательное свойство движения, достаточное, чтобы понять эти законы. Это - принцип инерции: если при движении тела его ничего не касается, ничто не возмущает, то оно может лететь вечно с постоянной скоростью по прямой. (А почему это так? Мы этого не знаем, но так уж повелось.)

Ньютон затем видоизменил эту мысль, говоря, что единственный способ изменить движение тела - это применить силу. Если тело разгоняется, значить сила была приложена в направлении движения. Если тело повернуто в строну, то сила была приложена сбоку. Если, например, привязать камень к бечевке и вертеть им по кругу, то, чтобы удержать его на окружности, нужна сила. Мы должны все время натягивать бечевку. Закон состоит в следующем: ускорение, производимое силой, обратно пропорционально массе. Или иначе: сила пропорциональна массе и ускорению. Чем массивнее тело, тем большая сила необходима, чтобы создать нужное ускорение. (Массу можно измерить, привязав к веревке другой камень и вертя им по тому же кругу с той же скоростью. Так можно обнаружить, что массивным телам нужна большая сила.) Из этих рассуждений последовала блестящая мысль: чтобы удержать планету на ее орбите, никакой касательной силы не нужно (ангелам нет нужды летать по касательной), потому что планета и так будет лететь в нужном направлении. Есл бы ничего ей не мешало, она бы удалилась по прямой линии. Но истинное движение уклоняется от этой прямой и отклоняется как раз поперек движения, а не по движению. Иными словами, благодаря принципу инерции сила, потребная для управления движением планет вокруг Солнца, это не сила, вращающая их вокруг Солнца, а сила, направленная к Солнцу (ну, раз сила направлена к Солнцу, то, бесспорно, это и есть тот самый ангел!).

Лучше других поняв природу движения, Ньютон прикинул, что именно Солнце может явиться источником, штаб-квартирой сил управляющих движением планет. Он убедился (вскоре, быть может, убедимся в этом и мы), что "заметание" равных площадей в равные интервалы времени есть верный знак того, что все отклонения от прямой в точности радиальны, или что закон площадей есть прямое следствие того, что все силы направлены точно к Солнцу.

Кроме того, из анализа третьего закона Кеплера можно вывести, что чем дальше от Солнца планета, тем слабее сила. Из сравнения двух планет на разных расстояниях следует, что силы обратно пропорциональны квадратам относительных расстояний. Сочетая оба закона, Ньютон пришел к заключению, что должна существовать сила, обратная квадрату расстояния и направленная по прямой между Солнцем и планетой.

Будучи человеком, склонным к обобщениям, Ньютон, конечно, предположил, что эта связь применима не только к Солнцу, удерживающему планеты, но что она носит более общий характер. Уже было известно, к примеру, что вокруг Юпитера обращаются луны, подобно тому как Луна ходит вокруг Земли, и Ньютону казалось естественным, что и планеты силой держат луны возле себя. Тогда он уже знал о силе, удерживающей нас на Земле, и предположил, что эта сила всеобщая и что все притягивается ко всему.

Тогда он спросил себя: притягивает ли Земля людей так же, как Луну ("так же" значит обратно пропорционально квадрату расстояния). Если тело у поверхности Земли падает в первую секунду (из состояния покоя) на 4,9 м, то на сколько падает Луна? Можно возразить, что Луна вообще не падает. Но если бы на Луну не действовала сила, она бы унеслась по прямой линии, а на самом деле она обращается по круговой орбите; следовательно, она падает с того места, где она должна была бы быть, если бы сила на нее не действовала. Зная радиус орбиты Луны (около 384000 км) и время ее оборота вокруг Земли (около 29 дней), можно подсчитать, сколько она проходит за 1 сек и затем на сколько она за это время падает^*. Оказывается, что это расстояние равно примерно 1,36 мм. Это хорошо укладывается в закон обратных квадратов, потому что радиус Земли 6370 км, и если на этом расстоянии тела, падая, проходят в первую секунду 4,9 м, то на расстоянии в 384 тыс. км, т. е. в 60 раз дальше от центра Земли, они должны падать на ¹/₃₆₀₀ от 4,9 м, или как раз на 1,36 мм. Желая подтвердить свою теорию тяготения подобными расчетами, Ньютон их аккуратно проделал и... получил сильнейшее несовпадение цифр. Он счел, что теория противоречит фактам, и не опубликовал ее. Шестью годами позже новые измерения радиуса Земли показали, что принятое в ту пору астрономами расстояние до Луны было неверным. Услышав об этом, Ньютон провел новый расчет с исправленными цифрами и получил уже превосходное совпадение.

Мысль, что Луна "падает", несколько смущает; почему же она тогда не приближается? Эта мысль настолько интересна, что заслуживает дальнейшего пояснения: Луна "падает" в том смысле, что отклоняется от прямой линии, по которой она бы двигалась, не будь больше никаких сил.

Рассмотрим другой, уже чисто земной пример. Тело, выпущенное из рук у земной поверхности, упадет в первую секунду на 4,9 м. Тело брошенное горизонтально, также падает на 4,9 м.

На фиг. 7.3 показан прибор, демонстрирующий это явление. Из горизонтального желоба выскакивает и летит вперед шарик. С той же высоты вертикально падает вниз другой шарик (имеется электрическая схема, выпускающая второй шар как раз в тот момент, когда первый соскальзывает с желоба). Они сталкиаваются в воздухе, т. е. это значит, что они за одинаковое время снижаются одинаково. Пуля, выпущенная горизонтально, может пройти за 1 сек даже полкилометра, а вниз за это время она упадет на 4,9 м. Что случится, если пуля будет вылетать из ствола быстрее? Не забудьте, что поверхность Земли кривая. Пуля может вылетеь с такой скоростью, что, упав на 4,9 м, она все равно останется по отношению к Земле на первоначальной высоте. Может ли такое быть? Да; хотя она упадет, но и Земля искривится, вот и получается падение "вокруг" Земли. Надо только узнать, на каком расстоянии поверхность Земли окажется на 4,9 м ниже горизонта. На фиг. 7.4 изображена Земля с ее радиусом (6370 км) и касательный прямой путь пули (в отсуствии сил). Остается вспомнить одну из занятных геометрических теорем о том, что длинна полухорды, перпендикулярной диаметру, равна среднему геометрическому между длинами отрезков диаметра. Значит, расстояние, пройденное пулей, есть среднее пропорциональное между 4,9 м падения и 12 740 км диаметра Земли, т. е.

Любое открытие нового закона полезно лишь тогда, когда из него можно извлечь больше того, что в него вложено. Ньютон применил второй и третий законы Кеплера для того, чтобы вывести закон тяготения. Что же он предсказал? Первым предсказанием был ето анализ движения Луны: движение это увязывалось с падением тел на Земле. Вторым был ответ на вопрос, являются ли орбиты элипсами. Можно точно расчитать движение, можно доказать и то, что это элипс^*; стало быть, никаких добавочных фактов для доказательства первого закона Кеплера не нужно. Так Ньютон сделал свое первое мощное предсказание.

Закон тяготения объяснил многие явления, прежде непонятные. Например, притяжение Луны вызывает на Земле приливы - явление дотоле таинственное. Люди и раньше догадывались, что Луна притягивает воду под собой и получается прилив, но они не были так умны, как Ньютон, и думали, что должен быть только один прилив в сутки. Считалось, что Луна притягивает воду, вызывая прилив, но так как Земля вращается, то в каждом месте вода должна раз в сутки подняться и опуститься. А на самом деле прилив бывает каждые 12 часов. Была и другая школа передовой мысли; по ее мнению, прилив должен быть и на противоположной стороне ЗемлиЮ потому что Луна всегда отрывает сушу от воды! Обе эти теории неверны. Настоящее объяснение примерно таково: притяжение Луной суши и воды "уравновешено" в центре. Но притяжение Луной тех масс водыЮ которые находятся на "луной" стороне Земли, сильнее, чем среднее притяжение всей Земли, а притяжение масс воды на обратной стороне Земли слабее среднего. Кроме того, вода в отличии от суши может течь. Истинная причина приливов и определяется этими двумя факторами.

Что мы понимаем под словом "уравновешено"? Что именно уравновешивается? А вот что. Если Луна притягивает к себе всю Землю, то почему Земля не падает "вверх" на Луну? По той же причине, почему и Луна не падает на Землю: Земля вращается вокруг точки, которая нходится внутри Земли (но не в ее центре). Не Луна вращается вокруг Земли, а обе они вращаются вокруг общего центра и падают на него как показано на фиг. 7.5. Это движение вокруг общего центра и уравновешиваетпадение каждого из двух небесных тел. Так что и Земля тоже движется не по прямой линии, а по круговой орбите. Массы воды на дальней стороне отбрасываются из-за "центробежной силы" сильнее, чем центр Земли, который как раз уравновеешен притяжением Луны. Притяжение Луны на дальней стороне слабее и "центробежная сила" больше. В итоге равновесие воды нарушается: она удаляется от центра Земли. На ближней стороне Луна притягивает сильнее, но из-за меньшей величины радиус-вектора оказывается меньше и "центробежная сила", равновесие нарушается в обратную сторону, но по-прежнему от центра Земли. В итоге появляются два приливных "горба"