А. Эйнштейн

При помощи речи различные люди могут до некоторой степени сравнивать свои ощущения. При этом выясняется, что некоторые чувственные восприятия различных индивидуумов находятся в соответствии друг с другом, тогда как для других чувственных восприятий такого соответствия установить нельзя. Мы привыкли считать реальными такие чувственные восприятия, которые совпадают у различных индивидуумов и которые являются поэтому до известной степени внеличными. С такими чувственными восприятиями имеют дело естественные науки и, в частности, наиболее фундаментальная из них - физика. Представление о физическом теле, в частности о твердом теле, является относительно устойчивым комплексом таких чувственных восприятий. Часы - тоже тело или система в указанном смысле, но они обладают тем дополнительным свойством, что последовательность отсчитываемых ими событий состоит из элементов, которые можно рассматривать как равные. Наши понятия и системы понятий оправданы лишь постольку, поскольку они служат для выражения комплексов наших ощущений; вне этого они неправомерны. Я убежден, что философы оказали пагубное влияние на развитие научной мысли, перенеся некоторые фундаментальные понятия из области опыта, где они находятся под нашим контролем, на недосягаемые высоты априорности. Ибо, если бы даже оказалось, что мир идей нельзя вывести из опыта логическим путем, а что в определенных пределах этот мир есть порождение человеческого разума, без которого никакая наука невозможна, все же он столь же мало был бы независим от природы наших ощущений, как одежда - от формы человеческого тела. Это в особенности справедливо по отношению к понятиям пространства и времени. Под давлением фактов физики были вынуждены низвергнуть их с Олимпа априорности, чтобы довести их до состояния, пригодного для использования. Мы подходим теперь к нашему пониманию пространства и суждения о нем. Здесь также важно обратить особое внимание на отношение опыта к нашим понятиям. Мне кажется, что Пуанкаре ясно видел перед собой истину, когда писал свою книгу "Наука и гипотеза" *. Среди всех изменений, которые мы можем обнаружить в твердом теле, выделяются своей простотой те, которые можно произвести обратимым образом при помощи произвольного движения тела; Пуанкаре называет их изменениями положения. При помощи простых изменений положения мы можем привести два тела в соприкосновение. Теоремы конгруентности, имеющие фундаментальное значение в геометрии, выражают законы, управляющие этими изменениями положения. Для понятия пространства, по-видимому, существенно следующее: прикладывая тела В, С,... к телу А, мы можем образовывать новые тела; мы говорим, что мы продолжаем тело А. Тело А можно продолжить так, что оно соприкоснется с любым другим телом X. Совокупность всех продолжений тела А мы можем назвать "пространством тела А". Тогда справедливо утверждение, что все тела находятся в "пространстве (произвольно выбранного) тела А". В этом смысле мы не вправе говорить о пространстве вообще, а только о "пространстве, относящемся к телу А". Земная кора играет настолько важную роль в нашей повседневной жизни при определении относительных положений тел, что это привело к абстрактному понятию пространства, которое, конечно, не выдерживает критики. Чтобы освободиться от этой фатальной ошибки, мы будем говорить только о "телах отсчета" или "пространстве отсчета". Как мы увидим дальше, лишь в общей теории относительности потребуется уточнение этих понятий. Я не стану подробно останавливаться на свойствах пространства отсчета, которые приводят нас к пониманию точки как элемента пространства, а пространства - как континуума. Я не буду также пытаться глубже анализировать те свойства пространства, которые оправдывают представление о непрерывных последовательностях точек, или линиях. Если считать эти понятия и их связь с существующими твердыми телами заданными, то легко выразить, что мы подразумеваем под трехмерностью пространства. Каждой точке можно поставить в соответствие три числа хх, х%, х3 (координаты) таким образом, чтобы это соответствие было взаимно однозначным, и хх, х2 и х3 менялись бы непрерывно, когда точка пробегает непрерывную последовательность точек (линию). В дорелятивистской физике считалось, что законы ориентации абсолютно твердых тел находятся в соответствии с эвклидовой геометрией. Смысл этого можно выразить следующим образом. Две точки, отмеченные на твердом теле, определяют интервал. Такой интервал можно в нашем пространстве отсчета ориентировать в состоянии покоя множеством способов. Если теперь возможно сопоставить точки пространства с координатами xlt х2, х3 так, чтобы разности координат Ахх, Ах2, Ах3 двух концов интервала образовали одинаковую сумму квадратов S2 = Ах2 + Ах2 + Ах2 (1) при любой ориентации интервала, то пространство отсчета называется эвклидовым, а координаты - декартовыми 2. В действительности доста- 2 Это соотношение должно выполняться при произвольном выборе начала координат и направления интервала (т. е. значения отношений Axi : Дх2 : А(r)з)- точно, чтобы это допущение было справедливо в предельном случае бесконечно малого интервала. В высказанном допущении содержится нечто более общее и фундаментальное по своему значению; на это мы должны обратить внимание читателя ввиду особой важности вопроса. Во-первых, предполагается, что абсолютно твердое тело можно перемещать произвольно. Во-вторых, принимается, что поведение абсолютно твердого тела по отношению к поворотам не зависит от вещества тела и изменений его положения в том смысле, что если два интервала однажды могли быть совмещены, то они всегда и всюду могут быть совмещены снова. Оба эти предположения, имеющие фундаментальное значение для геометрии и особенно для физических измерений, естественно, вытекают из опыта. В общей теории относительности достаточно предположить их справедливость для тел и пространств отсчета, бесконечно малых по сравнению с астрономическими размерами. Величину s мы называем длиной интервала. Для однозначного определения этой величины необходимо зафиксировать произвольно длину какого-либо определенного интервала; например, мы можем положить ее равной 1 (единица длины). Тогда можно определить длины всех остальных интервалов. Если мы предположим, что хv линейно зависят от некоторого параметра Я: , .7 xv = av + Kov, то получим линию, которая обладает всеми свойствами прямой линии эвклидовой геометрии. В частности, легко видеть, что, откладывая п раз, интервал s вдоль прямой линии, мы получаем интервал длиной n>s. Длина, таким образом, означает результат измерения, выполненного вдоль прямой линии при помощи единичного измерительного стержня. Как будет видно из дальнейшего, понятие длины в той же мере не зависит от системы координат, как и понятие прямой линии. Мы подходим теперь к цепи рассуждений, играющих похожие роли как в специальной, так и в общей теории относительности. Поставим вопрос: существуют ли, кроме декартовых координат, которыми мы пользовались, другие эквивалентные системы координат? Интервал имеет физический смысл независимо от выбора координат; то же верно и относительно сферической поверхности, которую можно получить как геометрическое место концов равных интервалов, отложенных от некоторой произ- вольной точки нашего пространства отсчета. Если и г', (v = 1, 2, 3) являются декартовыми координатами в нашем пространстве отсчета, то сферическая поверхность будет задаваться в этих двух системах координат уравнениями: 2Лх; = const, (2) = const. (2а) Как должны выражаться a;v через ojv, чтобы уравнения (2) и (2а) были эквивалентны? Рассматривая ojv как функции от мы можем записать, согласно теореме Тейлора, для малых значений Джу: Ах* = АзСа + \ ^ д^~к~АХлАх^ + • • • л охл * а0 а Если подставим это соотношение в (2а) и сравним с (1), то увидим, что должны быть линейными функциями от xv. Если, поэтому, положить X? = "Ь 2 (3) a или Аз?у == 23**"Д(r)". (^(r)) ос то эквивалентность уравнений (2) и (2а) выразится в форме условия: 2 Д^2 = Я 23^* не зависит от Дж"). (26) Отсюда следует, что величина к должна быть постоянной. Если мы положим к = 1, то (26) и (За) приводят к условиям 23 ^va^vj3 = бд/З" (4) V где 6ар = 1, если а = Р и 6а^ = 0, если a =f= р. Условия (4) называются условиями ортогональности, а преобразования (3) и (4) - линейными ортогональными преобразованиями. Если мы потребуем, чтобы s2 = 2 Ах1 равнялось квадрату длины во всякой системе координат, и если при измерении каждый раз будем пользоваться одним и тем же единичным масштабом, то к должно быть равно 1. По этой причине линейные ортогональные преобразования являются единственными, при помощи которых мы можем переходить в нашем пространстве отсчета от одних декартовых координат к другим. Мы видим, что при таких преобразованиях уравнения прямой переходят также в уравнения прямой. Обращая равенства (За) путем умножения обеих частей его на. 6vp и суммирования по всем v, получаем 2] 6vpA^v ^ 2 будбуЗ А3?д ^ 23 барД^д == Д#|3. (б) v va a Те же самые коэффициенты б определяют также обратную подстановку Aav Геометрически 6va представляет собой косинус угла между осями xv и хл. " Подводя итог, мы можем сказать, что в эвклидовой геометрии существуют (в данном пространстве отсчета) избранные системы координат, а именно: декартовы системы, которые переходят одна в другую при линейных ортогональных преобразованиях. Расстояние s между двумя точками нашего пространства отсчета, измеренное при помощи измерительного стержня, выражается в таких координатах особенно просто. Всю геометрию можно построить на основе понятия расстояния. В нашем изложении геометрия связана с реальными предметами (твердыми телами) и ее теоремы, справедливость которых можно доказать или опровергнуть, являются утверждениями относительно поведения этих предметов. Обычно принято изучать геометрию, отвлекаясь от какой-либо связи между ее понятиями и опытом. Есть свои преимущества в выделении вещей чисто логических и независимых от опыта, который по своей природе неполон. Это вполне может удовлетворить чистого математика. Он удовлетворен, если может вывести свои теоремы из аксиом корректно, т. е. без логических ошибок. Вопрос о том, справедлива ли эвклидова геометрия или нет, его не касается. Но для наших целей необходимо связать основные понятия геометрии с объектами природы; без такой связи геометрия не имеет для физика никакой цены. Физика интересует вопрос, верны теоремы геометрии или не;г? То, что эвклидова геометрия с этой точки зрения содержит нечто большее, чем простые выводы, полученные из определений логическим путем, видно из следующего простого рассуждения. Между п точками пространства существуют -п - расстояний и Зп координат связаны соотношениями Sjiv = (З'Цц/ #l(v))2 "4" ^-2(v))2 "Ь • • • Из этих --^2-~ соотношений можно исключить 3п координат, и тогда для 5^ останется, по крайней мере, - ^---3п соотношений 8. Посколь- ку 5JJ.V - измеримые величины и по определению не зависят друг от друга, эти соотношения между величинами не являются необходимыми априори. Из предыдущего видно, что преобразования (3), (4) имеют фундаментальное значение в эвклидовой геометрии, определяя переход от одной декартовой системы координат к другой. Декартовы координаты характеризуются тем свойством, что с их помощью измеримое расстояние между двумя точками 5 выражается соотношением s2=2Д*"- . гг n (п - 1) на самом деле останется к - Зга -f 6 соотношении.Если K(xv) и К\х') - две системы декартовых координат, то Правая часть этого соотношения тождественно равна левой в силу уравнений линейного ортогонального преобразования; при этом правая часть отличается от левой лишь тем, что xv заменены на х'ч. Это обстоятельство выражается утверждением, что 2 As(r) есть инвариант по отношению к линейным ортогональным преобразованиям. Очевидно, что в эвклидовой геометрии имеют объективное значение, не зависящее от выбора декартовых координат, те и только те величины, которые можно выразить как инварианты по отношению к линейным ортогональным преобразованиям. В этом заключается причина того, что теория инвариантов, которая имеет дело с законами, управляющими видом инвариантов, имеет такое значение в аналитической геометрии. В качестве другого примера геометрического инварианта рассмотрим объем. Он выражается формулой V = ^ dxxdx2dx^. Пользуясь теоремой Якоби, можно написать ffi*******=ffimZ2',2) dxidxtdXi- Подынтегральное выражение в последнем интеграле есть функциональный определитель от я' по xv, равный, согласно (3), определителю |6И| из коэффициентов преобразования 6V(X. Если мы образуем определитель из 8ц.а, то из соотношения (4), в силу теоремы об умножении определителей, получим 1 = |8"0| = |2г-"Ае| = |гу.Р; |*v,| = ±i. (6) V Если мы ограничимся преобразованиями с определителем, равным -f 1 (а только такие и возникают при непрерывных изменениях систем координат) 4, то V - инвариант. 4 Существует, таким образом, два типа декартовых систем координат - так называемые "правые" д "левые" системы. Разница между ними хорошо знакома каждому физику и инженеру. Интересно отметить, что геометрически определить можно только различие между этими двумя типами систем, а не каждую из них саму по себе. Инварианты, однако, не являются единственным средством, с помощью которого можно выразить независимость от частного выбора декартовых координат. Другие способы выражения дают векторы и тензоры. Попытаемся выразить тот факт, что точка с текущими координатами xj лежит на прямой. Мы имеем xv - Av = ХВу, (v = 1, 2, 3). Не ограничивая общности, можно положить 2*-*. Если мы умножим эти уравнения на bpv [ср. (За) и (5)] и просуммируем по всем v, то получим яр - Ар = ХВр, где Вр = 2 Ъру,Вч\ Ар = 2 Ьр^Ау,. V V Это уравнения прямой линии в другой декартовой системе К'. Форма у них та же, что и у уравнений в исходной системе координат. Очевидно-поэтому, что прямые линии имеют смысл, не зависящий от системы координат. Формально это связано с тем, что величины (xv - Av) - Я Bv преобразуются как компоненты интервала, Ахч. Совокупность трех величин, определенных в каждой системе декартовых координат и преобразующихся как компоненты интервала, называется вектором. Если три компоненты вектора обращаются в нуль в одной системе декартовых координат, то они будут равны нулю и во всех прочих, так как уравнения преобразований однородны. Мы можем, таким образом, придать смысл понятию вектора без ссылок на геометрические образы. Поведение уравнений прямой линии можно выразить утверждением, что они ковариантны по отношению к линейному ортогональному преобразованию. Покажем теперь кратко, что существуют геометрические объекты, приводящие к понятию тензора. Пусть Р0 - центр поверхности второго порядка, Р - любая точка этой поверхности, a |v - проекции интервала Р0Р на оси координат. Тогда уравнение поверхности будет иметь вид 2 = 1. I*-. * В этом и аналогичных случаях мы будем опускать знак суммирования и подразумевать, что суммирование производится по всем индексам, повторяющимся дважды. Уравнение поверхности тогда запишется в виде == 1. Сущность теории относительности Числа полностью определяют поверхность при заданном расположении центра по отношению к выбранной системе координат. Из известного закона преобразования (За) величин при линейных ортогональных преобразованиях мы легко найдем закон преобразования для Яд-с = Ьдр'Ь-суЯц.Чш Это преобразование является однородным и первой степени по а На этом основании называются компонентами тензора второго ранга {последнее - благодаря двум индексам). Если все компоненты тензора исчезают в какой- либо декартовой системе координат, то они исчезают и во всех других декартовых системах. Тензором (а) описываются форма и положение поверхности второго порядка. Можно определить также аналитические тензоры высшего ранга (т. е. >с большим числом индексов). Можно и это даже удобно рассматривать векторы как тензоры первого ранга, а инварианты (скаляры) как тензоры нулевого ранга. В этом отношении задачу теории инвариантов можно сформулировать так: по каким правилам можно из данных тензоров образовать новые? Мы сейчас рассмотрим эти правила, чтобы иметь возможность применять их в дальнейшем. Сначала мы будем иметь дело только со свойствами тензоров по отношению к переходам от одной декартовой системы к другой в том же пространстве отсчета путем линейных ортогональных преобразований. Поскольку эти правила совершенно не зависят от числа измерений п, сначала мы оставим это число неопределенным. Определение. Если в тг-мерном пространстве отсчета фигура определяется по отношению к каждой декартовой системе координат па числами (а- число индексов), то эти числа являются компонентами тензора ранга а, если они преобразуются по закону = V^v'A'P • • • •'4р>р... • (7) Замечание. Из этого определения следует, что величина --- 1 А. Пуанкаре. Наука и гипотеза. СПб., 1906. Перевод со 2-го, исправленного французского издания.- Прим. ред. " €0 Сущность теории относительности * The meaning of relativity. Princeton Univ. Press. Princeton, N. Y., 1921. (Четыре лекции [Stafford Little Lectures], прочитанные Эйнштейном в Принстонском университете в мае 1921 г. Чтобы не нарушать хронологический порядок, приложения, добавленные при последующих изданиях, помещены ниже, среди современных им работ. (Статьи 126, 141 и 146).- Прим. ред.). Сущность теории относительности 1921 г.